単純移動平均フィルタのゲイン特性と位相特性(4回平均)
前の記事のおさらいから。
単純4回移動平均の周波数特性は、下式であることがわかった。
sin(2ωT)
G{e^(jωT)} = -------- * e^(-jωT3/2) (式7)
sin(ωT/2)
この式の振幅部分(e^以外の部分)を切りだして、絶対値にして、ゲイン特性(振幅特性)は、
|sin (2ωT)|
g(ω) = ------------- (式8)
|sin (ωT/2)|
ω=0のときは、右辺は0/0になるので、その時の値は、分子と分母を各ωで微分して、ω=0を代入して
2T * cos(2ωT)
lim ---------------- = 4 (式9)
ω→0 T/2 * cos(ωT/2)
になる。
詳細は、森口、宇田川、一松:「数学公式Ⅰ-微分積分・平面曲線-」、岩波全書、42ページ(1981年17刷)を参照してください。いまは、新しい版になっています。
あるいは、公式
sin4θ = 8sinθ(cosθ)^3 - 4sinθcosθ (式10)
を(式8)の分子に用いて、ゲイン特性を
g(ω) = 8 * {cos(ωT/2)}^3 - 4 * cos(ωT/2) (式11)
としてもよい。
上述のsin4θの公式は、森口、宇田川、一松:「数学公式Ⅱ-級数・フーリエ解析-」、岩波全書、186ページ(1979年17刷)を参照してください。いまは、新しい版になっています。
位相特性は、(式7)の位相部を切りだして
φ(ω) = - 3ωT/2 (式12)
具体的な例として、サンプリング周期1000Hz(制御周期1ms)、横軸周波数のグラフにする。グラフからサンプリング周期の1/4の250Hzでゲインがゼロ、つまり、250Hzの正弦波信号は出力に現れない。フィルタリングされる。サンプリング周期の1/10の100Hzの正弦波信号は入力の約3倍になって、出力現れる。0Hz、すなわち、直流は、4倍になって現れる。
エクセルの元データはこちら 「motion_oyaji_freq_MA4_081029.xls」をダウンロード
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