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2008年10月30日

単純移動平均周波数特性(4回平均)

Photo_2

次は、4回の単純移動平均をしてみよう。

■図の入出力関係は

   y(nT) = x(nT) + x{(n-1)T} + x{(n-2)T} + x{(n-3)T}      (式1)

■伝達関数を求める。(式1)の両辺をまずZ変換する。y(nT) => Y(z) , x(nT) => X(z) , x{(n-1)T)} => X(z)*z^(-1) ,  x{(n-2)T)} => X(z)*z^(-2) , x{(n-3)T)} => X(z)*z^(-3)と置き換える。すると

   Y(z) = X(z) + X(Z)*z^(-1) + X(Z)*z^(-2) + X(Z)*z^(-3)

            = X(z) * { 1 + z^(-1) + z ^(-2) + z^(-3) }

次に出力Y(z)とX(z)の比の形に変形する。

   Y(z)/X(z) =   1 + z^(-1) + z ^(-2) + z^(-3)                (式2)

これが伝達関数である。簡単のため、Y(z) / X(z) = G(z)とおくと、

   G(z) =   1 + z^(-1) + z ^(-2) + z^(-3)                   (式3)

これは、等比級数である。これをまとまった形に変形する。(式3)の両辺にz^(-1)をかけると、

   G(z)*z^(-1) =    z^(-1) + z ^(-2) + z^(-3) + z^(-4)      (式4)

(式3)の両辺から、(式4)の両辺を引いて

   G(z) - G(z)*z^(-1) = 1 - z^(-4)

G(z)について整理すると、

       1 - z^(-4)

   G(z) = ---------               (式5)

               1 - z^(-1)

■次に周波数特性を求める。伝達関数の式において、z^(-1)をe^(-jωT)に置き換える。左辺のZは、e^(jωT)に置き換える。ωは角周波数。Tはサンプリング周期。

                 1 - e^(-jω4T) 

       G{e^(jωT)} = ------------   (式6)

            1 - e^(-jωT)

(式6)の分子は、オイラーの公式

   sinθ = { e^(jθ) - e^(-jθ) } / 2j

を使って、

  1 - e^(-jω4T)  = e^(-jω2T) * { e^(jωT) - e^(-jωT) }

        = 2j * e^(-jω2T) * { e^(jωT) - e^(-jωT) } / 2j

          = 2j * e^(-jω2T) * sin(2ωT)

となる。

(式6)の分母も同様に、分子に対して4TがTになっただけなので

  1 - e^(-jωT)  = 2j * e^(-jωT/2) * sin(ωT/2)

となる。したがって、(式6)は、

                 sin(2ωT) 

       G{e^(jωT)} = -------- * e^(-jωT3/2)   (式7)

            sin(ωT/2)

これが周波数特性である。

■参考

2回移動平均の周波数特性はこちら

http://robotcontroller.cocolog-nifty.com/blog/2008/10/post-0e41.html

Link: 

「モーションおやじ」のプライムモーション社(みんなで手軽にWindowsリアルタイムIO制御)

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