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2008年11月22日

簡単一次IIRフィルタの周波数特性の計算式

さて、今回は、インパルス不変法で設計した一次のIIRローパスフィルタの周波数特性計算式を導きます。

本のディジタルフィルタの計算式は、先の記事

http://robotcontroller.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/iir-ecd2.html

から

y(nT) = x(nT) - {1-e^(-T/τ)}*y{(n-1)T} + y{(n-1)T}

    (式9)

である。この式において、サンプリング周期T=1ms、時定数τを約15msとおいて、各種の入力波形に対して、出力波形を計算した。

インパルス入力に対する出力波形

http://robotcontroller.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/iir-ad59.html

ステップ入力に対する出力波形

http://robotcontroller.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/iirt1ms15ms-820.html

正弦波入力に対する出力波形

http://robotcontroller.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/iirt1ms15ms-c85.html

を計算してきた。

さて、(式9)の伝達関数は、先の記事

http://robotcontroller.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/iir-8a20.html

から

                1   

 G(z)=------------------  (式5)

         1-e^(-T/τ)*z^(-1)

この式において、z=e^(jωT)、あるいは 、z^(-1)=e^(-jωT)を代入すると、ωTに関わる式

                              1   

 G{e^(jωT)} = ------------------  (式10)

                   1-e^(-T/τ)*e^(-jωT)

が得られる。オイラーの公式

  e^(-jθ) = cosθ - j * sinθ      (式11)

より、

  e^(-jωT) = cos(ωT) - j * sin(ωT)

であるから、

                              1   

 G{e^(jωT)} = ------------------------- 

                1-A*{ cos(ωT) - j * sin(ωT) }

     (式12)

ここで、

  A = e^(-T/τ)         (式13)

と置いた。さらに、分母の実数部と虚数部(jの付いている項)を分けて

                              1   

 G{e^(jωT)} = ------------------------- 

                1-A*cos(ωT) + j *A*sin(ωT)

     (式14)

となる。分母の

    実数部 + j 虚数部

の形を

    絶対値*e^(j位相)

の形に直す。この形を

    Abs * e^(j *Angle)

と置けば

    Abs = √ { (実数部^2) + (虚数部^2) }

    Angle = arctan ( 虚数部 / 実数部 )  [rad]

で得られる。(式14)の分母は

    実数部 = 1-A*cos(ωT)

    虚数部 = A*sin(ωT)

なので

    Abs = √ { (1-AcosωT)^2 +(AsinωT)^2}

       (式15)

         Angle = arctan ( AsinωT / 1-AcosωT)  [rad]

       (式16)

となる。

     1               1

  --------------   =  --- * e^{j(-Angle)}

  Abs * e^(j *Angle)    Abs

なので、(式14)は、

                     1   

 G{e^(jωT)} = --- *  e^{j(-Angle)}

                 Abs

     (式17)

となる。周波数特性のゲイン特性(振幅特性)は、(式17)の絶対値の部分から

              1

  g(ω) = ----

            Abs

                                   1

        = -----------------------------

           √ { (1-AcosωT)^2 +(AsinωT)^2}

     (式18)

デシベル[dB]表示にしたいときは、

   20 * log 10 | g(ω) |    [dB]

を計算する。

次に、位相特性は、(式17)の位相の部分から

 φ(ω) = -Angle

     =  - arctan { AsinωT / (1-AcosωT) }  [rad]

     (式19)

度[deg]の表示にしたいときは

   φ(ω) / (2π) * 360   [deg]

を計算する。

ただし、

  A = e^(-T/τ)         (式13)

次の記事では、周波数特性(ゲイン特性、位相特性)を計算してみよう。

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