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2008年11月18日

簡単一次IIRフィルタのステップ応答波形

まず、おさらい。

1次にIIRフィルタで、サンプリング周期T=1ms、時定数τ=15ms程度のローパスフィルタを実装しようとしている。

計算式は、さきの記事より、

y(nT) = x(nT) - 1/16*y{(n-1)T} + y{(n-1)T}

    (式11)

インパルス応答を先の記事で計算したので、今日は、ステップ応答を計算してみよう。

ステップ応答とは、たとえると、スイッチが入ったような応答である。いままでゼロだったのに、突然ある値が入力されたら、どのような出力が出てくるかという波形である。

■ステップ応答(実数計算)

まず、入力x(nT)は、ずっと1。式にすると、

  x(nT) =  1 (n=0,1,2,,,)

これを入力として、(式11)のディジタルフィルタ出力y(nT)を計算すると16に近づく。

 y(nT) → 16

この値は、最終値の定理として知られている計算式からも得られる。

フィルタの伝達関数をG(z)として、値が1のステップ入力を入力したとき、出力y(nT)の最終値は、

                      z

 lim{y(nT)} = lim (z-1) * G(z) *----

  n->∞        z->1               z-1

       = lim z*G(z)

                  z->1      

今計算しているディジタルフィルタの伝達関数は、先の記事の(式5)

http://robotcontroller.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/iir-8a20.html

より

                1   

 G(z)=------------------

         1-e^(-T/τ)*z^(-1)

である。これを代入して、y(nT)の最終値は

                                     z

 lim{y(nT)} = lim ------------------------

  n->∞       z->1      1-e^(-T/τ)*z^(-1)

                    1

              = -------

                 1-e^(-T/τ)

先の記事で、簡単な演算を目論んで

      1-e^(-T/τ) = 1/16

と置いたので、y(nT)の最終値は、16となる。

グラフの比較波形として、アナログ波形を載せるが、最終値を一致させて比較しやすくするために、値16のステップ入力を入れたアナログ1次ローパスフィルタ出力波形

   y(t) = 16 * {1-e^(-t/15.4946E-3)}

を示している。15.4946E-3は、ディジタルフィルタ設計式から得られた時定数である。約15ms。

1_16_step_real_number

■ステップ応答(整数計算)

計算の途中、1/16で桁落ちするので、x(nT)として、127を入力している。式としては、

  x(nT) =  127 (n=0,1,2,,,)

最終値は、127の入力に変わったので、127*16=2032である。

比較用のアナログ波形は、最終値を合わせるために

   y(t) = 127 * 16 * {1-e^(-t/15.4946E-3)}

を示している。

1_16_step_integer

おおむね同じ波形になる。横軸はサンプリング、T=1msの場合は、時間[ms]。

差異に興味ある方は、エクセルのデータをみてね。データはこちら、

「motion_oyaji_IIR_1_16_time_step_081116.xls」をダウンロード

Photo最終値の定理は、例えば、

横山、佐川、貴家の訳;「ディジタル制御システム 解析と設計」、日刊工業新聞社、1990年、33ページ

に載っている。

Link: 

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